Representasi Floating Point & Aritmatika Floating-Point (Tugas 1)

Bilangan Floating Point

            Notasi floating-point dapat digunakan untuk merepresentasikan baik bilangan yang sangat besar (|N| » 0), bilangan yang sangat kecil atau dekat dengan nol (|N| « 1), maupun bilangan yang terdiri dari keduanya. Floating-point membuat proses operasi aritmatika menjadi relatif lebih mudah. Floating-point merepresentasi bilangan nyata dalam bentuk persamaan:

N = m × R^e

Dimana:

m merupakan bagian bilangan pecahan yang biasa disebut significand atau mantissa
e adalah bagian bilangan bulat yang biasa disebut exponent
R merupakan basis dari suatu sistem bilangan

Bagian bilangan pecahan m merupakan p-digit bilangan dengan bentuk (±d.dddd ... dd), dimana semua digit d adalah bilangan bulat antara 0 dan R-1. Jika digit terdepan (sebelak kiri) dari m bukan angka nol, maka bilangan ini dapat dikatakan sebagai normalized.

Format Bilangan Floating-Point
Format bilangan floating-point biner telah distandarkan oleh IEEE 754-2008 (atau ISO/IEC/IEEE 60559:2011), yaitu meliputi format 16-bit (half), 32-bit (single-precision), 64-bit (double-precision), 80-bit (double-extended) dan 128-bit (quad-precision). Pada artikel ini hanya akan dibahas tentang format dasar, yaitu 32-bit dan 64-bit.

1. Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 8 bit eksponen (E)
• 23 bit mantisa (M)

Bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-127. Nilai 127 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 127. Dengan excess-127, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 255.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 255:
  E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
  E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 254 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -126 sampai 127. Contoh: E_min(1) = −126, E(50) = −77, dan E_max(254) = 127.

Tabel nilai eksponen di format floating-point 32-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)S × 0.bit signifikan × 2−126
1-254		Nilai ternormalisasi	(−1)S × 0.bit signifikan × 2E−127
255	∞	Bukan bilangan   (NAN=not-a-number)

Saat nilai mantissa (M) dinormalisasi, most significant bit (MSB) selalu 1. Namun, bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa (Tabel diatas). Nilai mantissa yang sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Di bilangan subnormal, nilai mantissa sebenarnya adalah 0.M, sehingga bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 23 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 24 bit atau sekitar 7 digit desimal (yaitu 24 × log₁₀(2) = 7,225). Dalam bahasa pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data float (C, C++, Java) atau single (Pascal, VB, MATLAB).

2. Bilangan Floating-Point 64-bit (double-precision)

Bilangan floating-point 64-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 11 bit eksponen (E)
• 52 bit mantisa (M)

Seperti halnya dengan bilangan single-precission, bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-1023. Nilai 1023 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 1023. Dengan excess-1023, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 2047.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 2047:
  E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
  E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 2047 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -1022 sampai 1023. Contoh: E_min(1) = −1022, E(100) = −923, dan E_max(254) = 1023.

Tabel nilai eksponen di format floating-point 64-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)S × 0.bit signifikan × 2−1022
1-2046		Nilai ternormalisasi	(−1)S × 0.bit signifikan × 2E−1023
2047	∞	Bukan bilangan   (NAN=not-a-number)

Nilai mantisa (M) dinormalisasi, yang berarti most significant bit (MSB) selalu 1. Bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa. Nilai mantisa sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 52 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 53 bit atau sekitar 16 digit desimal (yaitu 53 × log₁₀(2) = 15.955). Dalam pemrograman, suatu bilangan double-precision ini dideklarasikan dengan tipe data double (C, C++, Java).

•        REPRESENTASI BILANGAN FIXED-POINT

Utk representasi bilangan fixed-point diperlukan :

a.      lokasi atau register penyimpanan computer yg ukurannya memadai utk menyimpan seluruh digit bilangan

b.      kemungkinan utk menjaga track tempat beradanya point tersebut

contoh:

contoh desimal utk representasi 5 digit. Jika diasumsikan posisi point adalah :

Maka :

0

1

3

7

5

Merepresentasikan 13.75

3 klasifikasi dasar representasi fixed-point

a.      representasi mid-point

dimana terdapat digit baik sebelum dan sesudah point tersebut

b.      representasi integer

dimana tidak terdapat digit setelah point desimal

c.       representasi pecahan

dimana tidak ada digit sebelum point desimal

•        REPRESENTASI BILANGAN FLOATING-POINT

Utk merepresentasikan floating-point diperlukan :

a. lokasi atau register penyimpanan computer dgn ukuran memadai utk menyimpan semua digit signifikan dari bilangan tersebut

b. ruang penyimpanan tambahan utk menyimpan posisi ppoint tersebut, ruang tambahan ini biasanya berada di dalam lokasi yg sama atau terpisah.

Contoh :

•        Desimal dgn mantisa 5 digit dan eksponen 3 digit

	Mantissa				Eksponen
1	3	7	5	0	0	0	2	.13750*102 = 1.375
3	8	6	2	4	0	0	3	.38624*103 = 386.24

•        Biner dgn 12 bit dan komplemen duaan utk nilai negatifnya

		mantissa						eksponen
Sign			fraction
0	1	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0	.1101112*24 = 1101.112 = 13.7510
1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	-.110112*24 = -1101.112 = -13.7510

Bentuk umum n = f . r^e

Dimana :

n          : bilangan

f            : mantissa, pecahan yg kadang-kadang disebut argument

R           : radiks atau base

e           : exponent, merupakan integer yg kadang-kadang disebut characteristic

•        MEMBANDINGKAN FIXED-POINT DAN FLOATING-POINT

1.      komputer dapat menjalankan aritmatika fixed-point lebih cepat daripada aritmatika floating-point.

2.      representasi fixed-point membatasi jangkauan dan skala bilangan yg sedang direpresentasikan.

3.      representasi floating-point memberikan fleksibilitas yg lebih besar dalam jangkauan dan skalanya, ini biasanya mengurangi kecepata.

•        ARITMATIKA FIXED-POINT

Register 8 bit menyangga bilangan dalam bentuk komplemen duaan dgn bit paling kiri sebagai bit sign. Bilangan positif dan negatif maksimum dan minimum direpresentasikan. Disini bisa diperoleh keakuratan 7 bit.

Contoh : Representasi integer

	Sign bit				Representasi					Value	keterangan
	0		1	1	1	1	1	1	1	27 – 1 = 127	Maksimum positif
	1		0	0	0	0	0	0	1	-27 = .128	Most negatif
OVERFLOW DAN UNDERFLOW
OVERFLOW		:

hasil operasi aritmatika terlalu besar utk disimpan dalam lokasi yg dialokasikan untuknya.

UNDERFLOW         : Hasil tersebut terlalu kecil utk disimpan dalam lokasi yg dialokasikan untuknya.

MENDETEKSI OVERFLOW

a.      menggunakan bit ekstra yyg ditambahkan ke bagian kiri dari bit sign.

i.             Bit ekstra di set ke nilai yg sama seperti bit sign sebelum penambahan /pengurangan

ii.             Bilangan yg telah dimodifikasi ditambahkan/dikurangi

iii.             Jika bit ekstra dan bit sign berbeda setelah operasi, maka telah terjadi overflow

b.      Metode lain, dimana tidak menggunakan bit ekstra

i.             Menggunakan ADD jika sign berbeda, dan SUBSTRACT jika signnya sama, maka overflow tidak terjadi

ii.             Utk A + B jika sign(A) = sign(B) maka hasilnya berupa sign(A) Utk A - B jika sign(A) ≠ sign(B) maka hasilnya sign(A) Sign yg salah menunjukkan overflow

Contoh :

	a		Ekstra bit		Sign bit			Binary SUM				Nilai desimal
			0		0			1	1	0	0	12
			0		0			0	0	1	1	3
			0		0			1	1	1	1	15
			0		0			Bit sama Æ				tidak overflow
	b		Ekstra bit			Sign bit		Binary SUM					Nilai desimal
			0			0		1	1	0	0		12
			0			0		0	1	1	0		6
			0			1		0	0	1	0		18
			0	≠		1			Bit berbeda				Æ overflow

PRESISI GANDA

Salah satu cara mengurangi overflow dgn meningkatkan panjang penyimpanan yg dialokasikan utk setiap representasi bilangan. Jika 1 lokasi dalam memori panjangnya tidak cukup maka 2 lokasi yg bersebelahan dapat digunakan. Bilangan yg disimpan dgn cara ini disebut double precision number atau double length number

ARITMATIKA PRESISI GANDA

Aritmatika yg menggunakan bilangan presisi ganda. Lebih lamban namun sering digunakan karena mesin dgn word yg lebih panjang lebiih mahal.

Aritmatika Floating Point

Dalam komputasi , floating point aritmatika adalah aritmatika dengan menggunakan representasi rumus bilangan real sebagai perkiraan sehingga dapat mendukung trade-off antara range dan precision . Untuk alasan ini, perhitungan floating-point sering ditemukan pada sistem yang mencakup bilangan real sangat kecil dan sangat besar , yang memerlukan waktu pemrosesan yang cepat. Angka adalah, secara umum, mewakili kira-kira sejumlah digit signifikan ( signifikan ) dan diskalakan menggunakan eksponendi beberapa tempat tetap; Dasar penskalaan biasanya dua, sepuluh, atau enam belas. Sebuah nomor yang dapat diwakili persis adalah dari bentuk berikut:

Dimana significand adalah bilangan bulat (yaitu, dalam Z ), basa adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan dua, dan eksponen juga merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh:

Istilah floating point mengacu pada fakta bahwa titik radix nomor ( titik desimal , atau lebih umum di komputer, titik biner ) dapat "mengapung"; Artinya, tempat itu bisa ditempatkan di manapun relatif terhadap digit angka yang signifikan . Posisi ini ditunjukkan sebagai komponen eksponen, dan dengan demikian representasi floating-point dapat dianggap sebagai semacam notasi ilmiah .

Sistem floating-point dapat digunakan untuk mewakili, dengan jumlah digit tetap, jumlah pesanan yang berbeda besarnya : misalnya jarak antara galaksi atau diameter inti atomdapat dinyatakan dengan satuan panjang yang sama. Hasil dari rentang dinamis ini adalah bahwa angka yang dapat diwakili tidak seragam spasi; Perbedaan antara dua bilangan representatif yang berurutan tumbuh dengan skala yang dipilih. ^[1]

Selama bertahun-tahun, berbagai representasi floating-point telah digunakan di komputer. Namun, sejak tahun 1990an, representasi yang paling sering ditemui adalah yang didefinisikan oleh Standar IEEE 754 .

Kecepatan operasi floating-point, yang biasa diukur dari segi FLOPS , merupakan karakteristik penting dari sebuah sistem komputer , terutama untuk aplikasi yang melibatkan perhitungan matematika intensif.

Sebuah unit floating-point (FPU, bahasa sehari-hari math coprocessor) adalah bagian dari sistem komputer yang dirancang khusus untuk melaksanakan operasi pada angka floating-point.

Nomor floating-point

Sebuah representasi nomor menentukan beberapa cara pengkodean angka, biasanya sebagai string digit.

Ada beberapa mekanisme dimana string digit dapat mewakili angka. Dalam notasi matematika umum, string digit dapat berupa panjang apapun, dan lokasi titik radix ditunjukkan dengan menempatkan karakter "titik" eksplisit (titik atau koma) di sana. Jika titik radix tidak ditentukan, maka string secara implisit mewakili bilangan bulat dan titik radix yang tidak berdetak akan berada di luar ujung kanan senar, di samping digit paling tidak signifikan. Dalam sistem fixed-point , posisi dalam string ditentukan untuk titik radix. Jadi skema fixed-point mungkin menggunakan string 8 digit desimal dengan titik desimal di tengah, di mana "00012345" akan mewakili 0001.2345.

Dalam notasi ilmiah , nomor yang diberikan diskalakan dengan kekuatan 10 , sehingga berada dalam kisaran tertentu - biasanya antara 1 dan 10, dengan titik radix muncul segera setelah digit pertama. Faktor penskalaan, sebagai kekuatan sepuluh, kemudian ditunjukkan secara terpisah di akhir nomor. Sebagai contoh, periode orbit Jupiter bulan 's Io adalah 152 853 ,5047 detik, nilai yang akan direpresentasikan dalam standar-bentuk notasi ilmiah sebagai 1,528 535 047 × 10 ⁵ detik.

Representasi floating-point serupa dalam konsep notasi ilmiah. Logikanya, bilangan floating-point terdiri dari:

·         String digit yang ditandatangani (berarti negatif atau tidak negatif) dengan panjang tertentu dalam basis tertentu (atau radix ). String digit ini disebut sebagai significand , mantissa , atau koefisien . Panjang significand menentukan ketepatan angka mana yang dapat diwakili. Posisi titik radix diasumsikan selalu berada di suatu tempat dalam signifikansi-seringkali hanya setelah atau sesaat sebelum digit yang paling signifikan, atau di sebelah kanan digit paling kanan (paling tidak signifikan). Artikel ini umumnya mengikuti konvensi bahwa titik radix diset tepat setelah digit paling kiri (paling kiri).

·         Sebuah eksponen integer yang ditandatangani (juga disebut sebagai karakteristik , atau skala ), yang memodifikasi besarnya angka tersebut.

Untuk mendapatkan nilai bilangan floating-point, maka significand dikalikan dengan basis yang diangkat ke kekuatan eksponen , setara dengan menggeser titik radix dari posisi tersiratnya oleh sejumlah tempat yang sama dengan nilai eksponen-ke kanan jika eksponennya positif atau ke kiri jika eksponennya negatif.

Menggunakan basis-10 (akrab desimal notasi) sebagai contoh, jumlah 152 853 0,5047 , yang memiliki sepuluh angka desimal presisi, diwakili sebagai significand 1528535047 bersama-sama dengan 5 sebagai eksponen. Untuk menentukan nilai sebenarnya, titik desimal ditempatkan setelah digit pertama dari significand dan hasilnya dikalikan dengan 10 ⁵untuk memberikan 1,528 535 047 × 10 ⁵ , atau 152 853, 5047 . Dalam menyimpan nomor semacam itu, basis (10) tidak perlu disimpan, karena akan sama untuk keseluruhan rentang angka yang didukung, dan dengan demikian dapat disimpulkan.

Secara simbolis, nilai akhir ini adalah:

dimana 8  adalah significand (mengabaikan titik desimal tersirat), p adalah ketepatan (jumlah digit di significand), b adalah dasar (dalam contoh kita, ini adalah nomor sepuluh ), dan e adalah eksponen

Secara historis, beberapa basis bilangan telah digunakan untuk mewakili bilangan floating-point, dengan basis dua ( biner ) menjadi yang paling umum, diikuti oleh basis sepuluh (desimal), dan varietas lainnya yang kurang umum, seperti dasar enam belas ( notasi heksadesimal ), dan bahkan basis tiga (lihat Setun ).

Angka floating-point adalah bilangan rasional , karena dapat digambarkan sebagai satu bilangan bulat dibagi oleh yang lain; misalnya 1,45 × 10 ³ adalah (145/100) * 1000 atau 145 000 /100. Dasar menentukan fraksi yang dapat diwakili; Misalnya, 1/5 tidak dapat diwakili persis seperti bilangan floating-point menggunakan basis biner, tapi 1/5 dapat diwakili persis dengan menggunakan basis desimal ( 0,2 , atau 2 × 10 ^-1 ). Namun, 1/3 tidak dapat diwakili persis dengan biner (0,010101 ...) atau desimal (0,333 ...), namun di basis 3 , ini sepele (0,1 atau 1 × 3 ^-1). Peristiwa dimana ekspansi tak terbatas terjadi bergantung pada basis dan faktor utamanya , seperti yang dijelaskan dalam artikel Notasi Pos .

Cara di mana yang penting dan (termasuk tanda) dan eksponennya disimpan di komputer bergantung pada implementasi. Format IEEE yang umum dijelaskan secara rinci di lain waktu dan di tempat lain, namun sebagai contoh, dalam representasi floating-point presisi tunggal (32-bit) biner, p = 24, dan begitu significand adalah string 24 bit . Misalnya, jumlah π 's pertama 33 bit adalah:

11001001 00001111 1101101 0 101000100

Jika bit paling kiri dianggap sebagai bit ke-1, maka bit 24 adalah nol dan bit ke-25 adalah 1; Dengan demikian, dalam pembulatan menjadi 24 bit, mari kita atribut ke bit 24 nilai 25, menghasilkan:

11001001 00001111 1101101 1

Bila ini disimpan menggunakan pengkodean IEEE 754, ini menjadi significand 8 dengan  e=1 (dimana 8 diasumsikan memiliki titik biner di sebelah kanan bit pertama) setelah penyesuaian kiri (atau normalisasi ) selama titik nol yang mengarah atau tertinggal terpotong harus ada, yang tidak perlu dalam kasus ini; Sebagai akibat dari normalisasi ini, bit pertama dari unsigned biner non-nol selalu 1, jadi tidak perlu disimpan, menghemat satu bit penyimpanan.

Alternatif untuk bilangan floating-point 

 Representasi floating-point sejauh ini merupakan cara yang paling umum untuk mewakili komputer sebagai aproksimasi bilangan real. Namun, ada alternatifnya:

a.     Representasi fixed-point menggunakan operasi perangkat keras integer yang dikendalikan oleh implementasi perangkat lunak dari konvensi tertentu mengenai lokasi titik biner atau desimal, misalnya 6 bit atau digit dari kanan. Perangkat keras untuk memanipulasi representasi ini lebih murah daripada floating point, dan dapat digunakan untuk melakukan operasi bilangan bulat normal juga. Titik tetap biner biasanya digunakan pada aplikasi tujuan khusus pada prosesor tersemat yang hanya bisa melakukan aritmatika bilangan bulat, namun titik desimal tetap sama pada aplikasi komersial.

b.     Binary-coded decimal (BCD) adalah pengkodean untuk angka desimal di mana setiap digit diwakili oleh urutan binernya sendiri. Hal ini dimungkinkan untuk menerapkan sistem floating-point dengan pengkodean BCD.

c.     Sistem bilangan logaritma mewakili bilangan real dengan logaritma nilai absolut dan sedikit tanda. Distribusi nilai sama dengan floating point, namun kurva value-to-representation ( yaitu grafik fungsi logaritma) mulus (kecuali pada 0). Sebaliknya untuk aritmatika floating-point, dalam multiplikasi sistem bilangan logaritmik, pembagian dan eksponenasi mudah diterapkan, namun penambahan dan pengurangannya rumit. The Indeks tingkat aritmatika dari Clenshaw, Olver, dan Turner adalah skema didasarkan pada representasi logaritma umum.

d.     Bila presisi yang lebih tinggi diinginkan, aritmatika floating-point dapat diimplementasikan (biasanya dalam perangkat lunak) dengan variabel-length significands (dan kadang-kadang eksponen) yang berukuran tergantung pada kebutuhan aktual dan tergantung bagaimana perhitungannya berjalan. Ini disebut arbitrary-precision floating-point arithmetic.

e.     Beberapa angka ( misal 1/3 dan 1/10) tidak dapat diwakili persis dalam biner floating-point, tidak masalah presisinya. Paket perangkat lunak yang melakukan aritmatika rasionalmewakili bilangan sebagai pecahan dengan bilangan bulat dan penyebut integral, dan karenanya dapat mewakili bilangan rasional apa pun. Paket seperti itu umumnya perlu menggunakan aritmatika " bignum " untuk bilangan bulat masing-masing.

f.      Sistem aljabar komputer seperti Mathematica dan Maxima sering menangani bilangan irasional  atau    dengan cara yang benar-benar "formal", tanpa berurusan dengan pengkodean spesifik dari makna dan. Program semacam itu dapat mengevaluasi ungkapan seperti  sin (3x)“ tepatnya, karena diprogram untuk memproses matematika yang mendasarinya secara langsung, daripada menggunakan nilai perkiraan untuk setiap perhitungan perantara.

•        ARITMATIKA FLOATING-POINT

Bentuk standar :

Contoh : 0.125 * 10² 

Bentuk standar utk bilangan floating point biner :

Jangkaun utk mantissa f adalah 0.5 < f < 1 dan -1 < f < -0.5

Normalisasi :

a.      geser mantissa n bit ke kiri atau ke kanan menurut keperluan

b.      jika digeser ke kiri, kurangkan n dari eksponennya

c.       jika digeser ke kanan, tambahkan n dari eksponennya

contoh :

a. mengurangkan1/2 dgn 5/8 dapat menimbulkan representasi 1/8

	Mantissa			Eksponent			Komentar
0	0	0	1	0	0	0	1/8 not in standar form
0	1	0	0	1	1	0	Mantissa shifted 2 places left so 2 substracted
							from
b. menambahkan 5/8 ke 7/8 dapat menimbulkan representasi 1 ½
	Mantissa			Eksponent			Komentar
0	1	0	0	0	0	0	1 ½ not in standar form
0	1	1	0	0	0	1	Mantissa shifted 1 places right so 1 added to
							eksponen

Jangkauan representasi floating-point bentuk standar :

representasi floating-point

i.             bilangan paling positif terjadi dgn mantissa positif terbesar dan eksponen positif terbesar

ii.             bilangan positif terkecil terjadi dgn mantissa positif terkecil dan eksponen negatif terbesar

iii.             bilangan negatif terkecil terjadi dgn mantissa negatif paling kecil dan eksponen negatif terbesar

iv.              bilangan negatif terbesar terjadi dgn mantissa negatif terbesar dan eksponen positif terbesar

Perkalian dan pembagian bilangan floating-point

a.      perkalian

i.             kalikan mantissa

ii.             tambahkan eksponen

iii.             normalisasi

contoh :

(0.12 * 10²) * (0.253 * 10²)

(0.12 * 0.253) * 10²⁺³ = 0.300 * 10⁴

b.      pembagian

i.             bagi mantissa

ii.             kurangi eksponen

iii.             normalisasi

contoh :

(0.156 * 10³) * (0.12 * 10²)

(0.156 * 0.12) * 10^3-2 = 0.130 * 10²

Daftar Pustaka

ftp://ftp.itb.ac.id/pub/ISO-IMAGES/linux/filenya-putu.../lec04-floating_point.pdf

nurfajria.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/34088/aritmatika+fixed-point.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_arithmetic